Tensor geometris[1] memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1.      Diagonalisasi dapat diselesaikan dengan sebuah rotasi sumbu yang sesuai, yaitu kesamaan transformasi.

2.      Nilai eigen[2] diperoleh sebagai akar-akar determinan sekuler dan bersifat riil.

3.      Vektor-vektor eigen bersifat riil dan orthogonal

10.7         Sudut Eulerian

Transformasi dari sebuah sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya dapat direpresentasikan dengan suatu persamaan matriks pada bentuk

Bila kita mengetahui sistem yang tetap dengan x’ dan tubuh sistem dengan x, maka rotasi matriks dapat menjelaskan seluruh orientasi relatif pada dua sistem tersebut. Rotasi matriks  mengandung tiga sudut independen. Ada banyak pilihan-pilihan yang mungkin untuk sudut-sudut ini; kami menemukan adalah sesuai untuk menggunakan sudut-sudut Eulerian[3] .

Sudut-sudut Eulerian dihasilkan dalam deret rotasi berikut, yang mengambil sistem  ke dalam sistem [4]:

1.      Rotasi yang pertama berlawanan dengan arah putar jam melalui sudut  sekitar sumbu x’₃ (Gambar 10-7a) untuk mentransformasi x’_i ke x”_i. Karena rotasi tersebut terjadi dalam bidang x’₁ – x’₂, transformasi matriknya adalah:

                                                                            (10.91)

dan

                                                                                                       (10.92)

2.      Rotasi yang kedua berlawanan dengan arah putar jam melalui sudut  sekitar sumbu x”₁ (Gambar 10-7b) untuk mentransformasi x’_i ke. Karena rotasi tersebut sekarang berada dalam bidang x”₂ – x”₃, maka transformasi matriknya adalah:

                                                                             (10.93)

++ Gambar 10.7

dan

                                                                                                     (10.94)

3.      Rotasi yang ketiga berlawanan dengan arah putar jam melalui sudut  sekitar sumbu (Gambar 10-7c) untuk mentransformasi  ke. Transformasi matriknya adalah:

                                                                           (10.95)

dan

                                                                                                     (10.96)

Garis umum terhadap bidang-bidang yang mengandung sumbu x₁ dan x₂ serta sumbu x’₁ dan x’₂ disebut sebagai garis node (garis buncak). Transformasi penuh dari sistem x’₁ ke sistem x’₁ diberikan oleh

                                                                                      (10.97)

                                                                                               

      dan rotasi matriks nya adalah

                                                                                            (10.98)

Komponen-komponen dari matriks ini adalah:

(Komponen-komponen adalah penyeimbang dalam persamaan sebelumnya untuk membantu visualisasi matriks-seutuhnya.

Karena kita dapat menghubungkan vektor dengan rotasi infinitesimal (rotasi yang kecil sekali), maka kita dapat menghubungkan turunan-turunan waktu pada rotasi sudut-sudut ini dengan komponen-komponen vektor kecepatan angular . Sehingga

Badan persamaan-persamaan yang kaku pada gerakan tersebut paling sesuai diekspresikan dalam badan sistem koordinat (yaitu sistem ) dan dengan demikian kita harus mengekspresikan komponen-komponen  dalam sistem ini. Kami tekankan bahwa dalam Gambar 10.7 kecepatan-kecepatan angular  diarahkan sepanjang sumbu-sumbu berikut:

 sepanjang sumbu (tetap)

 sepanjang garis node (garis buncak)

 sepanjang sumbu (badan)

Komponen-komponen kecepatan sepanjang badan sumbu-sumbu koordinat adalah:

Dengan mengumpulkan komponen-komponen individual dari , akhirnya kita memiliki

 

Hubungan-hubungan ini nanti akan berguna dalam mengekspresikan komponen-komponen momentum angular dalam badan sistem koordinat.

CONTOH 10.7

Dengan mempergunakan sudut-sudut Eulerian, carilah transformasi yang menggerakkan sumbu x’₁ awal ke bidang x’₂ – x’₂ tengah-tengah antara x’₂ dan x’₃ serta menggerakkan x’₂ vertikal terhadap bidang x’₂ dan x’₃ (lihat Gambar 10-8)

+Gambar 10-8

Solusi: Kunci transformasi dengan menggunakan sudut-sudut Eulerian adalah rotasi kedua disekitar garis node-node, karena rotasi tunggal ini menggerakkan x’₃ ke x₃. Dari pernyataan masalah tersebut, x₃ harus berada dalam bidang x’₂ – x’₃, berotasi 45⁰ dari x’₃. Rotasi pertama harus menggerakkan x’₁ ke x’’₁ agar memiliki posisi yang tepat untuk berotasi x’₃ = x’’₃ hingga x’’’₃ = x₃.

Dalam kasus ini, x’₃ = x’’₃ berotasi = 45⁰ dari keadaan awalnya dan x’₁ = sumbu-x’’₁ sehingga  = 0 dan

                                                                                                     (10.103)

                                                                    (10.104)

Rotasi terakhir, , menggerakkan x’₁ = x’’₁ = x’’’₁ hingga x₁ ke posisi yang dikehendaki dalam bidang awal x’₂ – x’₃.

                                                                                    (10.105)

Transformasi matriks  adalah :

                                                                    (10.106)

Perbandingan langsung antara x_i- dan sumbu - x’_i  menunjukkan bahwa  mewakili rotasi tunggal yang menjelaskan transformasi tersebut.

---

[1] Untuk lebih tepatnya, kita hanya memerlukan agar unsur-unsur tensor tersebut mengikuti hubungan  dengan demikian kita hanya membolehkan kemungkinan atau peluang pada kuantitas-kuantitas yang rumit. Tensor (dan matriks) dengan sifat ini disebut akan Hermitean

[2] Istilah “nilai eigen” dan “vektor eigen” merupakan nama-nama generik dari kuantitas tersebut dimana dalam kasus ini inersia tensor tersebut masing-masing merupakan momen utama dan sumbu utama. Kita akan menjumpai istilah-istilah ini dalam membahas osilasi-osilasi kecil dalam Bab 11

[3] Skema rotasi Euler pertama kali dipublikasikan pada tahun 1776

[4] Istilah sudut Euler dan bahkan polanya dimana sudut dan pola tersebut dibuat tidak disetujui secara universal. Dengan demikian diperlukan perhatian dalam membandingkan hasil-hasil dari +terpotong…yang berbeda. Notasi tersebut yang digunakan disini adalah notasi yang paling umum ditemukan dalam teks-teks modern.